Đáp án bài toán 'tam giác vàng' mở két

Đề bài:

Một két sắt có mật mã gồm 7 chữ số được ẩn giấu trong các đại lượng của "Tam giác vàng ABC". Biết độ dài 3 cạnh của "Tam giác vàng ABC" là 3 số nguyên dương và đường tròn đi qua 3 đỉnh A, B, C có bán kính là 3,125.

1. Xác định độ dài 3 cạnh, chu vi và diện tích của "Tam giác vàng ABC".

2. Giả sử mật mã két sắt gồm 7 ô chứa dữ liệu của "Tam giác vàng ABC", mỗi ô chứa đúng 1 chữ số trong đó 3 ô liên tiếp chứa 3 chữ số biểu thị độ dài 3 cạnh, 2 ô liên tiếp chứa 2 chữ số biểu thị chu vi và 2 ô liên tiếp chứa 2 chữ số biểu thị diện tích (các số biểu thị đều đọc từ trái sang phải). Nếu biết kết quả đúng của câu 1 và cứ sau 1 phút nhập được đúng một mật mã hợp lệ gồm 7 chữ số thì sau tối đa bao nhiêu phút két sẽ được mở?

Hướng dẫn giải:

1. Giả sử tam giác ABC có diện tích S, độ dài 3 cạnh là a, b, c còn p là nửa chu vi và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có S = (abc)/4R = (abc)/12,5 hay 25S = 2abc. Từ đó S là số nguyên chia hết cho 2 còn (abc) chia hết cho 25.

Mặt khác, trong đường tròn đường kính là dây lớn nhất hay Max{a,b,c} ≤ 2R = 6,25 nên khi kết hợp với a, b, c nguyên dương dẫn đến trong ba cạnh a, b, c luôn có 2 cạnh có độ dài bằng 5.

Không mất tính tổng quát giả sử a = b = 5, khi đó 25S = 50c hay S = 2c.

Sử dụng công thức Hê-rông tính diện tích tam giác ta có:

16S² = 16p(p–a)(p–b)(p–c) = 2p(2(p–a))(2(p–b))(2(p–c))

16S² = (b+c+a)(b+c–a)(c+a–b)(a+b–c) = (10+c)(10–c)c²

64c² = (100–c² )c² hay 64 =100–c² tức là c = 6.

Vậy tam giác ABC có độ dài ba cạnh (a, b, c) là một hoán vị của (5, 5, 6), có chu vi là 16 và có diện tích là S = 2c = 12.

2. Với quy tắc đọc các chữ số biểu thị theo chiều từ trái sang phải, trong đó chú ý tính thứ tự khi đọc số có 2 chữ số chu vi là 16 và diện tích là 12, từ 7 ô trống của mật mã ta có 3 cách chọn vị trí cho bộ 3 số (5, 5, 6) là độ dài của 3 cạnh, mỗi vị trí có 3 cách hoán vị là (5, 5, 6); (5, 6, 5); (6, 5, 5) và sau đó có 2 cách chọn vị trí các số biểu thị chu vi 12 và diện tích 16.

Do đó, số cách chọn của dãy 7 chữ số biểu thị mật mã từ "Tam giác vàng ABC" là 3x3x2 = 18 (cách). Mỗi một lần giải mã mất 1 phút nên sau tối đa 18 phút thì ổ khóa được mở.

Trần Phương