Đề bài:
Cho 10 đồng xu, trong đó có ít nhất 9 đồng xu thật. Đồng xu cuối cùng có thể là đồng xu thật hoặc đồng xu giả. Tất cả các đồng xu thật có khối lượng như nhau. Đồng xu giả có thể nặng hơn hoặc nhẹ hơn so với đồng xu thật. Cần xác định trong 10 đồng xu, có xu giả hay không, nếu có thì đồng xu giả nặng hơn hay nhẹ hơn một đồng xu thật, với một chiếc cân hai đĩa.
Hỏi cần ít nhất bao nhiêu lần cân trên một chiếc cân hai đĩa để xác định?
Đáp án:
Giả sử ở lần cân đầu tiên, nếu không sử dụng hết 10 đồng xu hoặc sử dụng hết 10 đồng xu (mỗi bên 5 đồng xu) và cân không thăng bằng thì không thể trả lời đầy đủ các yêu cầu của đề bài. Suy ra đáp án chính xác là cần phải có ít nhất 2 lần cân.
Ta sẽ chứng minh chỉ cần 2 lần cân thì với mọi khả năng vẫn luôn xác định được đặc tính của đồng xu giả (nếu có). Thật vậy, lần cân đầu tiên ta đặt 4 đồng xu bất kì lên mỗi đĩa cân. Xét 2 trường hợp có thể xảy ra:
Trường hợp 1: Cân thăng bằng
Vậy cả 8 đồng xu đều là thật. Lần cân thứ hai, đặt 2 đồng xu thật lên một đĩa cân và đặt 2 đồng xu chưa được cân lên đĩa còn lại. Nếu cân thăng bằng thì cả 10 đồng xu đều là thật.
Nếu cân không thăng bằng, sẽ xác định được đồng xu giả nặng hơn hay nhẹ hơn đồng xu thật vì đã biết đồng xu giả đặt ở đĩa cân nào.
Trường hợp 2: Cân không thăng bằng
Khi đó, trong 8 đồng xu này có 1 đồng xu giả. Trong 4 đồng xu ở bên nặng hơn, tiếp tục lấy 2 đồng xu đặt lên một đĩa cân và 2 đồng xu lên đĩa còn lại. Nếu cân thăng bằng thì đồng xu giả không nằm trong 4 đồng xu này, suy ra đồng xu giả nhẹ hơn đồng xu thật. Nếu cân không thăng bằng thì đồng xu giả nằm trong 4 đồng xu này, suy ra đồng xu giả nặng hơn đồng xu thật.
Trần Phương
